Download e-book for kindle: Algebra (Lehrbuch) by Siegfried Bosch

By Siegfried Bosch

ISBN-10: 3540298800

ISBN-13: 9783540298809

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie einführenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

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Definition 7. Es sei R ein Ring. (i) Ein Ideal p ⊂ R heißt prim oder Primideal, wenn p von R verschieden ist und wenn f¨ fur a, b ∈ R mit ab ∈ p stets a ∈ p oder b ∈ p folgt. (ii) Ein Ideal m ⊂ R heißt maximal, wenn m von R verschieden ist und wenn gilt: Ist a ⊂ R ein Ideal mit m ⊂ a ⊂ R, so folgt a = m oder a = R. Beispielsweise ist das Nullideal eines Ringes R genau dann ein Primideal, wenn R ein Integritatsring ist. 3 Ringhomomorphismen, Faktorringe 41 Satz 8. Es sei R ein Ring. (i) Ein Ideal p ⊂ R ist genau dann ein Primideal, wenn R/p ein Integritats¨ ring ist.

Es gelte a = b, wobei wir ohne Einschrankung a = b = 0 annehmen ¨ durfen. Dann hat man b ∈ a, also gibt es ein c ∈ R mit b = ca. Ebenso gibt es ¨ wegen a ∈ b ein c ∈ R mit a = c b. Damit folgt b = ca = cc b, bzw. (1 − cc )b = 0. Da nun R Integritatsring ist und b wegen b = 0 von Null verschieden sein muss, ¨ folgt cc = 1, d. h. c ist eine Einheit. Die umgekehrte Implikation ist trivial. Wir nennen zwei Elemente a, b eines Ringes R (zueinander) assoziiert, wenn es eine Einheit c ∈ R∗ mit b = ca gibt.

Im Ring Z der ganzen Zahlen entsprechen die irreduziblen Elemente abgeSinne, wahrend im sehen vom Vorzeichen genau den Primzahlen im ublichen ¨ ¨ Polynomring K X uber einem K¨orper K insbesondere die linearen Polynome ¨ X − a mit a ∈ K irreduzibel sind. F¨ ur K = C sind hierdurch bis auf Assoziiertheit alle irreduziblen Polynome beschrieben, wie wir spater anhand des ¨ Fundamentalsatzes der Algebra sehen werden. Im Allgemeinen gibt es jedoch uber einem K¨orper K irreduzible Polynome vom Grad > 1, in R X etwa das ¨ ¨ Polynom X 2 + 1.

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by Daniel
4.5

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