# Get Applied algebra for the computer sciences PDF

By Arthur Gill

ISBN-10: 0130392227

ISBN-13: 9780130392220

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Vk entsprechend vertauscht, so bilden am Ende auch die ersten I der so umgeordneten Vektoren Vl, ... , Vk eine Basis. Wenn man bei dem Verfahren immer jeweils nur in den nachfolgenden Zeilen die Spalten ausräumt, die vorhergehenden aber unverändert lässt, so beobachtet man allgemeiner, dass die ersten j Zeilen der umgeformten Maxtrix S immer denselben Raum erzeugen, wie die ersten j der entsprechend vertauschten Vl, ... , VI,:. In der Tat, die ersten j Zeilen von S sind Linearkombinationen der ersten j der so umgeordneten Vi 'so So kann man auch die Auswahl einer Basis von L( Vl, ...

Die Standardbasisvektoren el, ... ,en spannen Kn auf. Dabei hat ei die j-te Komponente bij. 2) Definition. Das r-Thpel von Vektoren VI, ... ,Vr E V heißt linear unabhängig, wenn gilt: Ist Al, ... ,Ar E K und Al VI + ... + Arvr = 0, so ist Aj = 0 für alle j = 1, ... , r (triviale Linearkombination). Das r-Thpel heißt sonst linear abhängig, also wenn Al, ... ,Ar existieren, so dass ein Aj -I- 0 und Al VI + ... + Arvr = O. Ein n- Thpel von Vektoren VI, ... , V n E V heißt eine Basis von V, wenn es linear unabhängig ist und V erzeugt.

Sei V = CYIVI + ... + CYnV n mit CYi E K für i = 1, ... , n. Zeige: Genau dann sind VI - V, ... , V n - V linear abhängig, wenn CYI + ... + CY n = 1. 38. p : V ----; V eine lineare Abbildung und V E V. p 0 . . pn-I(v) -I- 0, für ein n 2: 1. p( v), ... pn-I (v) sind linear unabhängig. 39. Seien VI,"" V,. Vektoren in IR n , r :'S n, mit Vi -I- 0 und (Vi, Vj) = 0 für i -I- j, i, j E {I, ... , r}. Zeige dass VI, ... ,Vr linear unabhängig sind. 40. Sei V = K3 für einen Körper K. Sei UI der von dem Vektor (1,0,0) erzeugte Unterraum von V und sei U2 der von den Vektoren (1,1,0) und (0,1,1) erzeugte Unterraum von V.